材料科学考研，上海交通大学材料科学考研
北京时间2023年3月21日上午，
来自加拿大滑铁卢大学的数学家Craig Kaplan
在数学社交平台Mathstodon上宣布，
他与几名其他研究者共同找到了一个
非周期(aperiodic)的单密铺形状，
被称为“一块石头”。
（德语为“ein Stein”)
图1：Kaplan发现的一种全新非周期单密铺形状
图源：Mathstodon
什么是密铺？
所谓密铺，就是用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。图中所有单密铺图形都具有相同的形状（存在翻转的单密铺图形，标记为深蓝色）是其他颜色的翻转；在这样的一种密铺情况下，无法从中找到单一的某个局部，使得这一局部可通过有限平移来实现全平面的密铺；此外，这一密铺图形也无法和其他的形状进行组合来实现全平面的密铺。这类使用单一形状的无周期密铺，便被称为“一块石头”。
据悉，这一单密铺图形是由一位打印工程师David Smith最初发现的。作为一名数学爱好者，Smith尤其喜欢使用各种独特的凹/凸多边形图案进行拼图游戏。在一次偶然中，他发现可以用这种图形铺满平面，但在推测其密铺规律时遇到了困难。强烈的直觉告诉他，这有可能是数学家追寻近50年的“一块石头”问题的解。之后，他将这个图案发给了加拿大滑铁卢大学的教授Craig Kaplan。Kaplan联合另外两位数学家，经过约两个月努力，终于证明它是一种无周期的单密铺图形，相关论文已经在学术公开网站Arxiv发表（David Smith为第一作者）。
图2：迄今为止发现的15种可以密铺的五边形
图源：搜狐网
在这之前，对于“一块石头”问题的最优解法是使用两种形状，即大名鼎鼎的彭罗斯镶嵌（Penrose tiling）。20世纪70年代中期，英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）仅利用两种图案（一宽一窄的菱形）就拼出了非周期性的马赛克图案，且菱形数量比为黄金分割比。
图3：一种彭罗斯镶嵌
图源：搜狐网
图4：另一种艺术化的彭罗斯镶嵌
图源网络
对晶体结构的认识与几何上的密铺问题是分不开的。对于非周期性密铺，除了纯粹数学上的研究和探索外，其另一重大应用体现在了材料科学领域中：非周期性结构可以用于设计新型材料的结构和性能等，其中最广为人知的便是准晶（Quasicrystal）。
什么是准晶？
1982年以色列科学家Dan Shechtman在研究一块快速降温的方式获得的高强度铝-锰合金时，在电子显微镜下观察到了一种违反了当时材料科学基本原理的现象：一系列的由十个等距亮点组成的同心圆，这意味着一种极不可能的对称性：
图5：Dan Shechtman发现的奇异的衍射图案
一般来说，由于降温过于迅速，金属的内部结构应该会变得无序，即组成非晶结构；但是，他观察到的图案却是另外的一种现象：金属的原子按照着一种违背了自然规律的方法排列着。于是，Schechtman在他的笔记本上写下了“十重对称”并打下了三个重重的问号“？？？”。
图6：Schechtman的实验记录本
上面标有“10 Fold ??? (十重对称？？？)”的字样
在当时的科学条件下，人们证明了上述具有十个点的结构是不可能的，且十重对称已经被用严格的数学证明推导出来在晶体中不存在。这就意味着，要么是Schechtman的结果有误，要么是他发现了一种新的结构，可能还不是一种晶体结构。在经历了一系列自我怀疑与来自其他同行的质疑后，在1984年，Schechtman终于在物理评论快报（Physical Review Letters）发表了他的实验数据，向物质结构的基本教条挑战，在材料科学与工程领域引起了一场轩然大波。这一最初的准晶结构的发现也引发了众多科学家的兴趣：德国科学家 Paul Steinhardt 和Dov Levine在Schechtman的论文发表约一个月后就发布了一篇全新的论文，首次提出了准晶这一概念以及其非周期密铺排列，晶体学的全新时代来临了。瑞典皇家科学院也将2011年诺贝尔化学奖授予了Schechtman，以表彰其对准晶的发现。
现在看来，准晶是一种介于晶体与非晶体之间的状态。准晶内部的原子排列也是有序的，但与传统的规律性不同，这种规律性体现在原子之间的距离上，是一种数学上的规律性。因而准晶不具有普通晶体具有的平移对称性，这也导致在宏观对称性上，准晶与普通晶体也有差别，最明显的就是准晶存在着五次轴。准晶中原子与原子之间的距离比也都与黄金分割比有关。就准晶而言，原子之间的距离是有规律性的，但这种规律性与普通具有重复结构晶体的规律性不同，就好比斐波那契数列，科学家们可以预测准晶的内部结构。
图7：Schechtman发现的准晶结构
图源网络
在多个领域大显身手
自从1982年发现以来，数以百计的准晶被科学家们所合成出来。准晶的不粘性能和坚硬特质使其成为制作烹饪用具涂层的良好材料，广泛地被人们使用。准晶材料还具有良好的隔热性，将准晶材料与其他材料混合使用，可以制得高强度的复合材料。此外，由于具有二十面体的特殊结构，准晶对称性和电阻率都较高，有望在软磁材料领域大展身手。
参考文献：
维基百科.密铺. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%86%E9%8B%AA
搜狐. “一块石头” 找到了！数学家发现了非周期单密铺形状 . 2023-3-25.
S. Deloudi, W. Steurer (2007) “Systematic cluster-based modeling of the phases in the stability region of decagonal Al-Co-Ni”, Philos. Mag. 87, pp 2727–2732
肖华星. (2005). 引人注目的新材料——准晶材料 Ⅳ: 准晶的性能及应用. 常州工学院学报, 18(1), 10-14.
https://zhuanlan.zhihu.com/p/28314081
文字| 李可扬 汪子丁 李玉尧
排版| 汪子丁
审核| 陈星安 魏一凡 程泽堃 王沁怡
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来源：探臻科技评论
编辑：见欢
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